Bài 58 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:

\(x^2+ x + a = 0\) và \(x^2+ ax + 1 = 0\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:

\({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)    (1)

\({x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)     (2)

Lấy (1) trừ (2) ta có:

\((1 - a){x_0} + a - 1 = 0 \Leftrightarrow (1 - a)({x_0} - 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
{x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Với \({x_0}= 1 ⇒ a = -2\)

Với \(a = 1\) thì \({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vô nghiệm)

Với \(a = -2\) hai phương trình \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm chung là \(x = 1\)

Vậy \(a = -2\)