Bài 57 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(x - {y^2} = 0\) và các đường thẳng \(y = 2,x = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A.

LG a

Quanh trục hoành;

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \int\limits_a^b {[{f^2}\left( x \right)-g^2(x)]dx} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x - {y^2} = 0 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt x \)

Hoành độ giao điểm của đường cong \(y=\sqrt x\) và \(y=2\) là:

\(\sqrt x=2\Rightarrow x=4\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh \(Ox\) là:

\(V = \pi \int\limits_0^4 {\left( {2^2} - (\sqrt x)^2 \right)} dx \) \( = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4 - x} \right)dx} \) \(= \left. {\pi \left( {4x - {{{x^2}} \over 2}} \right)} \right|_0^4 = 8\pi \)

LG b

Quanh trục tung

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh \(Oy\) là:

\(V  = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{y^2}} \right)}^2}dy} = \pi \int\limits_0^2 {{y^4}dy}  \) \(= \left. {{\pi  \over 5}{y^5}} \right|_0^2 = {{32\pi } \over 5}\)