Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\) \(= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\) \(= {x^2} + {2 \over x} + C \)

LG b

 \(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\) \( = \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\) \( = 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)

LG c

\(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\) \(\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du  \)

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}\int {\sin udu} \)  \( =  - \frac{2}{3}\cos u + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

Cách 2: Đưa vào vi phân

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx} \) \( = \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \) \( = \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

LG d

\(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u=\cos (2x+1)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \) \(\Rightarrow du =  - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  - {1 \over 2}du\)

Do đó 

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du}  = \dfrac{1}{2}\int {\left( { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du} \) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\)  \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

Cách khác: Đưa vào vi phân

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)