Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính các tích phân sau: 

LG a

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx;} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 

Đặt\(\left\{ \matrix{u = {x^2} \hfill \cr dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \)

Lời giải chi tiết:

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx}\) \(  = \left. { - {1 \over 2}{x^2}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x}\cos 2xdx} \)
\( = {{{\pi ^2}} \over 8} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)
Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx}\) \( = \left. {\frac{1}{2}x\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}  \) \(= 0 - \left. {\frac{1}{2}.\frac{{ - \cos 2x}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(= \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} =  - {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay (2) vào (1) ta được: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx = {{{\pi ^2}} \over 8}}  - {1 \over 2}.\)

LG b

\(\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)} dx;\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = 2{x^2} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = 2{x^2} + 1 \Rightarrow du = 4xdx \) \(\Rightarrow xdx = {{du} \over 4}\)

\(\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)dx = {1 \over 4}} \int\limits_3^9 {udu} \) \( = \left. {{1 \over 8}{u^2}} \right|_3^9 = 9\)

Cách khác:

\(\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)dx} \) \( = \int\limits_1^2 {\left( {2{x^3} + x} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\dfrac{{2{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2\) \( = 10 - 1 = 9\)

LG c

\(\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx.\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = {x^2} - 2x\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = {x^2} - 2x \Rightarrow du = 2\left( {x - 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \left( {x - 1} \right)dx = {{du} \over 2}\)

\(\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx \) \(= {1 \over 2}\int\limits_0^3 {{e^u}du = } \left. {{1 \over 2}{e^u}} \right|_0^3 = {1 \over 2}\left( {{e^3} - 1} \right).\)