Bài 5 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Trong tam giác \(ABC\) các đường trung tuyến \(AA’\) và \(BB’\) cắt nhau ở \(G\). Tính diện tích tam giác \(ABC\) biết rằng diện tích tam giác \(ABG\) bằng \(S.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AC = 2AB’\) (tính chất trung tuyến)

Mà \(\Delta ABC,\,\Delta ABB'\) có cùng chiều cao hạ từ đỉnh \(B\) xuống đáy \(AC\).

\( \Rightarrow \) \({S_{ABC}} = 2{S_{ABB'}}\) (1)

Xét \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến \(AA’\) và \(BB’\) cắt nhau ở \(G\) (gt)

\( \Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) (định nghĩa trọng tâm)

\( \Rightarrow \) \(BB' = \dfrac{3}{2}BG\) (tính chất trọng tâm) 

Suy ra chiều cao hạ từ \(B'\) xuống đáy \(AB\) bằng \(\dfrac{3}{2}\) lần chiều cao hạ từ \(G\) xuống đáy \(AB\)

Mà \(\Delta ABG,\,\Delta ABB'\) chung đáy \(AB\)

Nên \({S_{ABB'}} = \dfrac{3}{2}{S_{ABG}}\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \({S_{ABC}} = 2.\dfrac{3}{2}{S_{ABG}} = 3S\)