Bài 10 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(AB = 12 cm\), \(AD = 16 cm\), \(AA’ = 25 cm\).

a) Chứng minh các tứ giác \(ACC’A’\), \(BDD’B’\) là những hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng \(AC'{^2} = A{B^2} + A{D^2} + AA'{^2}\).

c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(ACC'A'\) có:

\(AA' // CC'\) và \(AC // A'C'\) (do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật)

Vậy \(ACC'A'\) là hình bình hành (1)

Ta có:  

\(\begin{array}{l}
AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C'\\
\Rightarrow \widehat {AA'C'} = {90^0}\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(ACC'A'\) là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự suy ta tứ giác \(BDD'B'\) là hình chữ nhật.

b) Trong tam giác vuông \(ACC'\), áp dụng định lí Pitago có:

\(AC'{^2} = A{C^2} + CC'{^2} =A{C^2} + AA'{^2}\) (vì \(CC'=AA')\)

Trong tam giác vuông \(ABC\), áp dụng định lí Pitago có:

\(A{C^2} =A{B^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{D^2}\) (vì \(BC=AD)\)

Do đó: \(AC'{^2} = A{B^2} + A{{\rm{D}}^2} + AA'{^2}\) 

c) Hình hộp chữ nhật được xem như hình lăng trụ đứng.

Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = 2ph = 2\left( {AB + AD} \right).AA'\)\(\,=2(12 + 16)25 = 1400 (cm^2)\)

Diện tích một đáy: \(S_đ= AB . AD = 12. 16 = 192 (cm^2)\)

Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_đ} \)\(\,=1400 + 2.192 = 1784\, (cm^2)\)

Thể tích: \(V= abc = AB.AD.AA’ = 12. 16. 25 \)\(\,= 4800\; c{m^3}\)