Bài 4 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Các điểm \(M, N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, CD\). Gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(DM\), \(K\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\). Hình bình hành \(ABCD\) phải có điều kiện gì để tứ giác \(MENK\) là:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật?

c) Hình vuông?

Lời giải chi tiết

Vì \(AB = 2MB, DC = 2DN \) (tính chất trung điểm)  

Mà \(AB = DC\) (tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow MB = DN\)

Mà \(MB // DN\)

Tứ giác \(MBND\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: \(MD=NB\) (tính chất)

Ta có: \(AM=MB=DN=NC=\dfrac{DC}{2}\) và \(AM//DN;MB//NC\)

Nên các tứ giác \(AMND, MBCN\) là hình bình hành. 

\( \Rightarrow \) \(E\) là trung điểm của \(DM, K\) là trung điểm của \(BN\) (tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow \) \(EM = NK\) (vì \(DM=NB\))

Mà \(EM // NK\) (do \(DM // BN\))

\( \Rightarrow \) \(MENK\) là hình bình hành.

a) Để \(MENK\) là hình thoi thì hình bình hành \(MENK\) phải có hai đường chéo vuông góc. Tức là \(MN ⊥ EK\).

Mà \(MN//BC;\,EK//CD\)

Suy ra \(BC ⊥ CD\).

Vậy \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.

b) Để \(MENK\) là hình chữ nhật thì hình bình hành \(MENK\) phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là \(MN = EK\).

Mà \(MN = BC\), \(EK = \dfrac{1}{2}CD\)  suy ra:

\(BC = \dfrac{1}{2}CD\).

c) Để \(MENK\) là hình vuông thì \(MENK\) phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành \(ABCD\) phải là hình chữ nhật có: \(BC = \dfrac{1}{2}DC\)