Bài 45 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là ti lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Lời giải chi tiết

Giải

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này. Từ giả thiết \(S = A.{e^{rt}}\) suy ra 
\(r = {1 \over 5}\left( {\ln {{300} \over {100}}} \right) = {{\ln 300 - \ln 100} \over 5}\)

\(r = {{\ln 300 - \ln 100} \over 5} = {{\ln 3} \over 5} \approx 0,2197\)
Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ.
Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có: \(100.{e^{10.0,2197}} \approx 900\)(con).
Từ 100 con, để có 200 con thì thời gian cần thiết là
\(t = {1 \over r}\ln {S \over A} = {{\ln S - \ln A} \over r}\)
\(t \approx {{\ln 200 - \ln 100} \over {0,2197}} = {{\ln 2} \over {0,2197}} \approx 3,15\) (giờ) = 3 giờ 9 phút.