Bài 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right);\,{F_2}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right).\)  Chứng minh rằng với mỗi điểm M(x, y) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {1 \over x},\) ta đều có 

\(M{F_1}^2 = {\left( {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2};\)

\(M{F_2}^2 = {\left( {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right)^2}.\)

Từ đó suy ra \(|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\)

Lời giải chi tiết

Giả sử: \(M\left( {x;y} \right) \in \left( H \right)\) thì \(y = {1 \over x}\) hay \(M\left( {x;\frac{1}{x}} \right)\) ta có:

\(\overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { - \sqrt 2  - x; - \sqrt 2  - \frac{1}{x}} \right),\) \(\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {\sqrt 2  - x;\sqrt 2  - \frac{1}{x}} \right)\)

\(\eqalign{
& M{F_1^2} = {\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {{1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2} \cr&= {x^2} + 2\sqrt 2 .x + 2 + {1 \over {{x^2}}} + 2\sqrt 2 .{1 \over x} + 2 \cr 
& = \left( {{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + 2} \right) + 2\sqrt 2 \left( {x + {1 \over x}} \right) + 2 \cr 
& = {\left( {{x} + {1 \over x}} \right)^2} + 2\left( {x + {1 \over x}} \right).\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr 
& = {\left( {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2} \cr 
& M{F_2}^2 = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {{1 \over x} - \sqrt 2 } \right)^2} \cr&= {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 2\sqrt 2 \left( {x + {1 \over x}} \right) + 2 \cr 
& = {\left( {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \)

Từ đó suy ra:

+) Với x > 0 thì \(x + {1 \over x} \ge 2\) (theo bất đẳng thức cô si)

Khi đó: \(M{F_1} = x + {1 \over x} + \sqrt 2 ;\) \(M{F_2} = x + {1 \over x} - \sqrt 2 \)

\(\Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = 2\sqrt 2 .\)

+) Với x < 0 thì \(\left| {x + {1 \over x}} \right| = |x| + {1 \over {|x|}} \ge 2 \Rightarrow x + {1 \over x} \le  - 2\)

Khi đó: \(M{F_1} =  - x - {1 \over x} - \sqrt 2 ;\) \(M{F_2} =  - x - {1 \over x} + \sqrt 2\)

\(  \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} =  - 2\sqrt 2 \)

Vậy \(|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\)