Bài 39 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau

LG a

(H) có một tiêu điểm là (5, 0) và độ dài trục thực bằng 8;

Lời giải chi tiết:

(H) có một tiêu điểm là (5, 0) nên \(c = 5\)

2a=8 nên a = 4

\(\Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 9 \Rightarrow b = 3\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1.\)

LG b

(H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt 3 \), một đường tiệm cận là \(y = {2 \over 3}x;\)

Lời giải chi tiết:

(H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt 3 \) nên \(2c = 2\sqrt 3 \) hay \(c = \sqrt 3\)

\({b \over a} = {2 \over 3} \Rightarrow b = {{2a} \over 3}\)

\({c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + {{4{a^2}} \over 9} = 3\)

\( \Leftrightarrow 9{a^2} + 4{a^2} = 27 \Leftrightarrow 13{a^2} = 27\)

\(\Rightarrow {a^2} = {{27} \over {13}};\)

\({b^2}  = {c^2} - {a^2}= 3 - {{27} \over {13}} = {{12} \over {13}}.\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over {{{27} \over {13}}}} - {{{y^2}} \over {{{12} \over {13}}}} = 1.\)

LG c

(H) có tâm sai \(e = \sqrt 5 \) và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(e = {c \over a} = \sqrt 5  \Rightarrow {c^2} = 5{a^2}\)

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 5{a^2} - {a^2}= 4{a^2}\,\,\,\,\,(1)\)

Giả sử: \((H):{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Vì \(M\left( {\sqrt {10} ;6} \right) \in (H)\) nên: \({{10} \over {{a^2}}} - {{36} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 10{b^2} - 36{a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) ta được: \(40{a^2} - 36{a^2} = {a^2}\left( {4{a^2}} \right)\) \(\Leftrightarrow 4{a^2} = 4{a^4}\)

\( \Rightarrow {a^2} = 1;{b^2} = 4\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over 1} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\)