Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
Đề bài
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các đường tiệm cận của Hypebol \(y = \pm \frac{b}{a}x\)
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) là:
\(\frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
Phương trình tiệm cận của (H) là: \({d_1}:y = {b \over a}x \Leftrightarrow bx - ay = 0\)
\({d_2}:y = - {b \over a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (H)\) ta có: \({{x_0^2} \over {{a^2}}} - {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\)
Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} - a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)
\(= {{|{b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2|} \over {{a^2} + {b^2}}}\) \( = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\) không đổi
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao timdapan.com"
