Bài 39 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Lời giải chi tiết

Ta có\(AB' \bot SB,AB' \bot CB(\) do \(CB \bot \left( {SAB} \right)\))

\( \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB' \bot SC   \;\;(1)\)

Tương tự \(AD' \bot SC\;\;\;(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra

 \(\eqalign{  & SC \bot \left( {AB'C'D'} \right)  \cr  &  \Rightarrow SC \bot AC'. \cr} \)

Do tính đối xứng ta có

\({V_{S.AB'C'D'}} = 2{V_{S.AB'C'}}\)

Ta có

\(\eqalign{  & {{{V_{S.AB'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SB'} \over {SB}}.{{SC'} \over {SC}} = {{SB'.SB} \over {S{B^2}}}.{{SC'.SC} \over {S{C^2}}}    \cr  &  = {{S{A^2}} \over {S{B^2}}}.{{S{A^2}} \over {S{C^2}}} = {{4{a^2}} \over {5{a^2}}}.{{4{a^2}} \over {6{a^2}}} = {8 \over {15}}.  \cr  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.{{{a^2}} \over 2}.2a = {{{a^3}} \over 3}\cr& \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = {8 \over {15}}.{{{a^3}} \over 3} = {{8{a^3}} \over {45}}  \cr  &  \Rightarrow {V_{S.AB'C'D'}} = {{16{a^3}} \over {45}}. \cr} \)