Bài 22 trang 8 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho khối hộp H có tâm I. Chứng minh rằng nếu \(mp\left( \alpha  \right)\) chia H thành hai phần có thể tích bằng nhau thì \(\left( \alpha  \right)\) phải đi qua điểm I.

Lời giải chi tiết

Giả sử H là khối hộp có tâm I và \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng không đi qua I.

Ta phải chứng minh rằng \(\left( \alpha  \right)\) chia H thành hai khối đa diện H₁ và H₂ có thể tích không bằng nhau.

Ta gọi \(\left( {\alpha '} \right)\) là mặt phẳng đi qua I và song song với \(\left( \alpha  \right)\). Khi đó, \(\left( \alpha  \right)\) chia H thành hai khối đa diện H’₁ và H’₂.

Vì I là tâm của H nên phép đối xứng tâm I biến H’₁ thành H’₂.

Vậy hai khối đa diện có thể tích bằng nhau và bằng \({V \over 2}\). Trong đó V là thể tích của H.

Hiển nhiên phần của H nằm giữa hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) có thể tích khác 0 nên thể tích của H₁ và H₂ không thể bằng nhau.