Bài 25 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho khối lăng trụ đứng \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có đáy hình bình hành và góc \(BAD = {45^0}\). Các đường chéo AC₁ và DB₁ lần lượt tạo với đáy những góc 45⁰ và 60⁰. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.

Lời giải chi tiết

Hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy và độ dài cạnh bên bằng chiều cao của hình lăng trụ. Từ giả thiết ta suy ra :

Góc \({C_1}AC = {45^0}\),góc \({B_1}DB = {60^0}\).

Từ đó suy ra

\(AC = C{C_1} = 2,BD = 2\cot {60^0} = {2 \over {\sqrt 3 }}.\)

Áp dụng định lý hàm số côsin ta có :

\(\eqalign{  & B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD.\cos {45^0},  \cr  & A{C^2} = D{C^2} + A{D^2} - 2DC.AD.\cos {135^0}, \cr} \)

Từ đó ta có:

\(\eqalign{  & B{D^2} - A{C^2} =  - AB.AD.\sqrt 2  + DC.AD.\left( { - \sqrt 2 } \right)\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =  - 2\sqrt 2 AB.AD  \cr  &  \Rightarrow {4 \over 3} - 4 =  - 2\sqrt 2 AB.AD \cr&\Rightarrow AB.AD = {8 \over {3.2\sqrt 2 }} = {4 \over {3\sqrt 2 }}.  \cr  & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.\sin {45^0}{\rm{.A}}{{\rm{A}}_1} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;= {4 \over {3\sqrt 2 }}.{{\sqrt 2 } \over 2}.2 = {4 \over 3}. \cr} \)