Bài 24 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ là tam giác đều. Mặt phẳng (A₁BC) tạo với đáy một góc 30⁰ và tam giác A₁BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết

Giả sử CK = x, ở đây AK là đường cao của tam giác đều ABC. Từ định lí ba đường vuông góc, ta có \({A_1}K \bot BC.\) Từ đó góc AKA₁ = 30⁰.

Xét tam giác vuông A₁AK, ta có:

\({A_1}K = AK;\cos {30^0} = {{2AK} \over {\sqrt 3 }},\) mà \(AK = {{2x\sqrt 3 } \over 2} = x\sqrt 3 \) nên \({A_1}K = 2x\)

\({A_1}A = AK\tan {30^0} = x\sqrt 3 .{{\sqrt 3 } \over 3} = x.\)

Vậy \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = CK.AK.{\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = {x^3}\sqrt 3 .\)

Nhưng \({S_{{A_1}BC}} = CK.{A_1}K = 8\) nên \(x.2x=8  \Rightarrow x = 2\),

Vậy \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = 8\sqrt 3 \).