Bài 36 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 4\,;1)\,,\,B(2\,;4)\,,\,C(2\,; - 2).\)

LG a

Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}( - 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr 
{y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right.\,\, \cr 
& \Rightarrow \,\,G\,(0\,;\,1). \cr} \)

LG b

Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\,({x_{D\,}}\,;\,{y_D})\)  sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_C} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_D}) \hfill \cr 
{y_C} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_D}) \hfill \cr} \right.\cr& \Rightarrow \left\{ \matrix{
2 = {1 \over 3}( - 4 + 2 + {x_D}) \hfill \cr 
- 2 = {1 \over 3}(1 + 4 + {y_D}) \hfill \cr} \right. \cr 
&  \Rightarrow \,\left\{ \matrix{
{x_D} = 8 \hfill \cr 
{y_D} = - 11 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow \,\,D\,(8\,;\, - 11) \cr} \)

LG c

Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành.

Phương pháp giải:

ABCE là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E({x_E}\,;\,{y_E})\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành. Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {2 + 4;4 - 1} \right) = \left( {6;3} \right)\\
\overrightarrow {EC} = \left( {2 - {x_E}; - 2 - {y_E}} \right)
\end{array}\)

ABCE là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC}\cr&\Leftrightarrow (6\,;\,3) = (2 - {x_E}\,;\, - 2 - {y_E}) \cr 
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 2 - {x_E}\\3 = - 2 - {y_E}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{{x_E} = - 4 \hfill \cr {y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow E\,( - 4\,;\, - 5). \cr} \)