Bài 36 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các bất phương trình:

LG a

\(mx + 4 > 2x + {m^2}\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bpt về dạng \(x \le b\left( {ax \ge b,ax < b,ax > b} \right)\) rồi xét các trường hợp \(a > 0, a < 0, a=0\) suy ra tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}mx + 4 > 2x + {m^2}\\ \Leftrightarrow mx - 2x > {m^2} - 4\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x > \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) Nếu \(m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}}{{m - 2}} = m + 2\)

\( \Rightarrow S = \left( {m + 2; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}}{{m - 2}} = m + 2\)

\( \Rightarrow S = \left( { - \infty ;m + 2} \right)\)

+) Nếu \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x > 0\) (vô lý)

\( \Rightarrow S = \emptyset \)

Vậy,

+ Nếu \(m > 2\) thì \(S = (m + 2, +∞)\)

+ Nếu \(m < 2\) thì \(S = (-∞; m + 2)\)

+ Nếu \(m = 2\) thì \(S = Ø\)

LG b

\(2mx + 1 \ge x + 4{m^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}2mx + 1 \ge x + 4{m^2}\\ \Leftrightarrow 2mx - x \ge 4{m^2} - 1\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)x \ge \left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) Nếu \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right)}}{{2m - 1}} = 2m + 1\)

\( \Rightarrow S = \left[ {2m + 1; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(2m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right)}}{{2m - 1}} = 2m + 1\)

\( \Rightarrow S = \left( { - \infty ;2m + 1} \right]\)

+) Nếu \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x \ge 0\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow S = \mathbb{R}\)

Vậy,

 + Nếu \(m > {1 \over 2}\) thì \(S = [2m +1; +∞)\)

+ Nếu \(m < {1 \over 2}\) thì \(S = (-∞; 2m + 1]\)

+ Nếu \(m = {1 \over 2}\) thì \(S =\mathbb R\)

LG c

\(x\left( {{m^2} - 1} \right) < {m^4} - 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}x\left( {{m^2} - 1} \right) < {m^4} - 1\\ \Leftrightarrow x\left( {{m^2} - 1} \right) < \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) Nếu \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\)

\( \Rightarrow S = \left( { - \infty ;{m^2} + 1} \right)\)

+) Nếu \({m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\)

\( \Rightarrow S = \left( {{m^2} + 1; + \infty } \right)\)

+) Nếu \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x < 0\)(vô lý)

\( \Rightarrow S = \emptyset \)

Vậy,

+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\) thì \(S = \left( { - \infty ;{m^2} + 1} \right)\).

+ Nếu \( - 1 < m < 1\) \(S = \left( {{m^2} + 1; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(m =  \pm 1\) thì \(S = \emptyset \).

LG d

\(2\left( {m + 1} \right)x \le {\left( {m + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right)x \le {\left( {m + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 2} \right)x \le {\left( {m + 1} \right)^2}x - {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 2 - {m^2} - 2m - 1} \right)x \le  - {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {m^2}} \right)x \le  - {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x \ge {\left( {m + 1} \right)^2}\end{array}\)

+) Nếu \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\)

\( \Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\)

+) Nếu \({m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\)

\( \Rightarrow S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\)

+) Nếu \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\)

Với \(m = 1\) thì (*) là \(0x \ge 4\) (vô lý)

 \( \Rightarrow S = \emptyset \)

Với \(m =  - 1\) thì (*) là \(0x \ge 0\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow S = \mathbb{R}\)

Vậy,

+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\) thì \(S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\).

+ Nếu \( - 1 < m < 1\) thì \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\).

+ Nếu \(m = 1\) thì \(S = \emptyset \).

+ Nếu \(m =  - 1\) thì \(S = \mathbb{R}\).