Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có  \({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \). Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(\varphi \) ta có:

\({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} \)

\(= {\cos ^2}\varphi  + {i^2}{\sin ^2}\varphi  + 2\cos \varphi .i\sin \varphi \)

\(= {\cos ^2}\varphi  - {\sin ^2}\varphi  + \left( {2\sin \varphi \cos \varphi } \right)i\)

\( = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \)

Vậy các căn bậc hai của \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \) là \( \pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Cách đã biết:

Gọi \(w=x+yi\) là một căn bậc hai của \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
{w^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = \cos 2\varphi \\
2xy = \sin 2\varphi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Rõ ràng hệ có các nghiệm \(\left( {\cos \varphi ,\sin \varphi } \right),\left( { - \cos \varphi , - \sin \varphi } \right)\).

Do đó\( \pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là hai căn bậc hai của\(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

=> Cách làm đầu tiên thuận tiện và dễ làm hơn cách thứ hai rất nhiều.

LG b

Tìm các căn bậc hai của \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).

Lời giải chi tiết:

\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)  = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\)

\(= \cos {\pi  \over 4} - i\sin {\pi  \over 4} \) \(= \cos \left( { - {\pi  \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 4}} \right)\).

Theo câu a) \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) có hai căn bậc hai là:

\( \pm \left( {\cos \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right) + i\sin \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right)} \right) \) \(=  \pm \left( {\cos {\pi  \over 8} - i\sin {\pi  \over 8}} \right)\)

Mà

\(\eqalign{  & \cos {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  \cr & = \sqrt {{{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }   \cr  & \sin {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 - \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  \cr & = \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }  \cr} \)

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là \( \pm {1 \over 2}\left( {\sqrt {2 + \sqrt 2 }  - i\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)\)

Cách 2, việc tìm các căn bậc hai của\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) đưa về việc giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr  2xy =  - {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Hệ đó tương đương với \(\left\{ \matrix{  8{x^4} - 4\sqrt 2 {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} = {{\sqrt 2  + 2} \over 4} \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right.\)

Nên có các nghiệm là: \(\left( {{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{ - \sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right),\) \(\left( {{{ - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right)\)

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.