Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z): \({z^2} + bz + c = 0\) nhận \(z = 1 + i\) làm một nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình \(f(z)=0\) nhận \(z=z_0\) làm nghiệm nếu \(f(z_0)=0\)

Lời giải chi tiết:

\(1 + i\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) khi và chỉ khi

\({\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\) \( \Leftrightarrow 1 + 2i - 1 + b + bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\)

\( \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} \right)i = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b + c = 0 \hfill \cr  2 + b = 0 \hfill \cr}  \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b =  - 2 \hfill \cr  c = 2 \hfill \cr}  \right.\)

LG b

Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

\({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\)

nhận \(z = 1 + i\) làm nghiệm và cũng nhận \(z = 2\) là nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(1 + i\) là một nghiệm của \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\)  khi và chỉ khi

\({\left( {1 + i} \right)^3} + a{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0 \) \( \Leftrightarrow \left( {1 + 3i + 3{i^2} + {i^3}} \right) + a\left( {1 + 2i - 1} \right) \) \(+ b + bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {1 + 3i - 3 - i} \right) + a.2i \) \(+ b + bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow  - 2 + 2i + 2ai + b + c + bi = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {b + c - 2} \right)+\left( {2 + 2a + b} \right)i = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b + c - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  2a + b + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

\(2\) là nghiệm của \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) khi và chỉ khi \(8 + 4a + 2b + c = 0\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ: .\(\left\{ \matrix{  b + c = 2 \hfill \cr  2a + b =  - 2 \hfill \cr  4a + 2b + c =  - 8 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a =  - 4 \hfill \cr  b = 6 \hfill \cr  c =  - 4 \hfill \cr}  \right.\)