Bài 20 trang 64 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:

Cho tam giác \(ABC\). Giả sử \(BC\) là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc \(AH\) đến đường thẳng \(BC\) (\(H  \in  BC\)).

a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở bài 1 để chứng minh \(AB + AC > BC.\)

b) Từ giả thiết về cạnh \(BC\), hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.

Lời giải chi tiết

a) \(∆ABC\) có cạnh \(BC\) lớn nhất nên chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) phải nằm giữa \(B\) và \(C\)

Hay \(H\) nằm giữa \(B\) và \(C\) \(\Rightarrow  HB  + HC = BC\) 

Trong \(∆AHC\) vuông tại \(H\) ta có: \(HC < AC\)    (1) (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Trong \(∆AHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(HB < AB\)    (2) (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1), (2) ta có:

\(HB + HC < AC + AB\)

Vì \(HB + HC = BC\) nên \(BC < AC + AB.\)

b) \(BC\) là cạnh lớn nhất nên suy ra \(AB < BC\) và \(AC < BC\)

Vì \(AB, AC > 0\) nên ta có: \(AB < BC + AC; AC < BC + AB\)