Bài 14 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Dựng tam giác \(ABC\), biết \(BC = 4cm\), góc \(\widehat {A} = 60^0\), bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng \(1cm\).

Lời giải chi tiết

Phân tích:  

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

\(\widehat {BOC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {OBC} + \widehat {OCB}} \right) \\= 180^\circ  - \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right)\) \( = 180^\circ  - \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ  - \widehat A} \right) \\= 180^\circ  - \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ  - 60^\circ } \right) = 120^\circ \)

⇒ O thuộc cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1

⇒ O cách BC 1cm

⇒ O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC và đường thẳng d.

Cách dựng:

Dựng \(BC = 4cm\) và đường thẳng \((d)\) song song với \(BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(1cm.\)

Tâm \(O\) của đường tròn nội tiếp \(∆ABC\) là giao điểm của đường thẳng \((d)\) với cung chứa góc \({120^0}\) dựng trên đoạn \(BC\) cố định.

Qua \(B\) và \(C\) vẽ các tiếp tuyến với \((O;1cm)\), chúng cắt nhau tại \(A.\) Tam giác \(ABC\) là tam giác phải dựng. 

Chứng minh: 

+ Theo cách dựng có BC = 4cm .

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC \( \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\)

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

⇒ (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

⇒ (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

⇒ (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {BOC} \)\(= \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}\)

(số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm)

Vậy ΔABC có BC = 4cm, \( \widehat {BAC} = {60^0}\) đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình \(ΔABC\) và \(ΔA’BC\) như hình vẽ.