Các phương pháp giải Toán hình học không gian

Các phương pháp giải Toán hình học không gian bao gồm các dạng toán và phương pháp giải bài toán hình học không gian. Hi vọng qua các bí quyết giải toán này, các bạn học sinh khi làm toán sẽ giải bài tập nhanh hơn, tiếp kiệm thời gian bài thi hơn. Đây sẽ là tài liệu hữu ích dành cho các bạn tham khảo nhằm học tốt môn Toán THPT, ôn thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.

• 306 bài tập trắc nghiệm hình học không gian lớp 12
• Bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện (Có đáp án)
• Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Hình học không gian
• Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Hình học giải tích trong mặt phẳng

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Thầy: Lâm Tấn Dũng

Mở đầu

Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu biết đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán, kiên trì hướng dẫn học sinh thực hiện theo đúng phương pháp đó, thì việc học và giải toán hình học không gian sẽ đỡ khó hơn rất nhiều và mỗi học sinh đều có thể học và giải những đề thi đại học phần hình học không gian một cách nhẹ nhàng.

Một số phương pháp giải toán Hình Học Không Gian

BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

* Phương pháp:

Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

• Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.
• Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng // thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và // với 2 đường thẳng này

BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

* Phương pháp:

- Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).

- Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm một mp (Q) chứa a.

2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).

3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

* Phương pháp:

Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.

BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.

* Phương pháp:

- Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

Tìm A = a ∩ b.

Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.

- Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.

* Phương pháp:

- Tìm mp (P) cố định chứa a.

- Tìm mp (Q) cố định chứa b.

- Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M thuộc c.

- Giới hạn.

BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.

* Phương pháp:

Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:

1. Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.

2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

BÀI TOÁN 7: Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định.

* Phương pháp:

Ta chứng minh: a = (P) ∩ (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P) ∩ b.

BÀI TOÁN 8: Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song.

* Phương pháp:

• Cách 1: Ta chứng minh: a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh // trong hình học phẳng như: Ta lét, đường trung bình, ... để chứng minh: a // b.
• Cách 2: Chứng minh: a, b cùng // với một đường thẳng thứ ba c.
• Cách 3: Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.

BÀI TOÁN 9: Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b.

* Phương pháp:

• Lấy một điểm O tùy ý.
• Qua O dựng c // a, d // b.
• Góc nhọn tạo bởi c và d là góc giữa 2 đường thẳng a, b.

* Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng // với đường còn lại.

BÀI TOÁN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P).

* Phương pháp:

- Cách 1: Ta chứng minh: a // với một đường thẳng . Khi không thấy được b ta làm theo các bước:

• Tìm một mp(Q) chứa a.
• Tìm b = (P) ∩ (Q).
• Chứng minh: b // a.

- Cách 2: Chứng minh:

BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước.

* Phương pháp:

Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.

BÀI TOÁN 12: Chứng minh 2 mặt phẳng song song.

* Phương pháp:

Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.

BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước.

* Phương pháp:

Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến // nhau.

BÀI TOÁN 14: Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc vưới nhau.

Phương pháp:

Cách 1

Chứng minh đường thẳng này  với mặt phẳng chứa đường kia.

Cách 2

Nếu 2 đường thẳng cắt nhau thì sử dụng các phương pháp đã dùng trong hình học phẳng để
chứng minh.

Cách 3

Dùng Vectơ.

BÀI TOÁN 15: Chứng minh đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (P).

Phương pháp:

Cách 1

Chứng minh: a vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

Cách 2

Chứng minh a là trục của mp (P) (Tức là chứng minh: MA = MB = MC, NA = NB = NC với M, N ∈ a, A, B, C ∈ (P)).

Cách 3

Chứng minh: a ⊂ (Q) vuông góc (P) và a vuông góc b = (P) ∩ (Q).

Cách 4

Chứng minh a là giao tuyến của 2 mặt phẳng cùng vuông góc (P).

BÀI TOÁN 16: Dựng thiết diện của mp(P) qua một điểm A cho trước và  đường thẳng a cho trước.

Phương pháp:

Cách 1

Nếu có 2 đường thẳng: b, c cắt nhau hay chéo nhau cùng vuông góc với a thì: (P) // a (hay chứa a), (P) // b (hay chứa b) ta đưa việc dựng thiết diện về phần //.

Cách 2

Dựng mp (P) như sau: Dựng 2 đường thẳng cắt nhau: b, c cùng vuông óc a, b hoặc c qua A, (P) = mp(b, c).

BÀI TOÁN 17: Dựng đường thẳng a qua A cho trước và vuông góc mp(P) cho trước. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Phương pháp:

1. Chọn trong (P) đường thẳng d.

2. Tìm mp(Q) qua A và vuông góc d. (Tức là tìm 2 đường thẳng cắt nhau vuông góc d trong đó có 1 đường thẳng qua A)

3. Tìm: c = (P) ∩ (Q).

4. Dựng: AH⊥ c tại H. AH là đường thẳng qua A và⊥ (P), AH = d[A, (P)].

Chú ý

1. Nếu: AB // (P) thì d[A, (P)] = d[B, (P)].

2. Nếu: AB ∩ (P) = I thì: d[A, (P)] / d[B, (Q)] = IA/ IB.

BÀI TOÁN 18: Tìm tập hợp hình chiếu ⊥ M của điểm cố định A trên đường thẳng d thay đổi trong mp(P) cố định và d qua điểm cố định O.

Phương pháp:

1. Dựng AH⊥ (P) (H⊥(P)) ta có: HM⊥ d. (Theo ĐL 3 đường ⊗ ).

2. Trong mp(P) góc HMO vuông nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P).

BÀI TOÁN 19: Tìm tập hợp hình chiếu ⊥ H của một điểm cố đinh A trên mp(P) di động chứa đường thẳng d cố định

1. Tìm mp(Q) qua A và ⊥ d.

2. Tìm c = (P)∩(Q).

3. Chiếu ⊥ A lên c, điểm chiếu là H thì H chính là hình chiếu ⊥ của A trên (P).

4. Gọi E = d∩ (Q). Trong mp góc AHE = 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AE.

(Còn tiếp)

Mời tham gia Thi và Tải đề thi THPT Quốc gia MIỄN PHÍ

Link đề thi trực tuyến:

Link tải tài liệu thi thử THPT Quốc gia 2016 MIỄN PHÍ: