Lý thuyết Vecto và các phép toán vecto trong không gian Toán 12 Cánh Diều

1. Khái niệm vecto trong không gian


1. Khái niệm vecto trong không gian

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng

- Các khái niệm có liên quan đến vecto trong không gian như: giá của vecto, độ dài của vecto, vecto cùang phương, vecto cùng hướng, vecto-không, hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng

 2. Các phép toán vecto trong không gian

a) Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu là \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

- Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc 3 điểm)

- Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc hình bình hành)

- Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)(Quy tắc hình hộp)

 

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \).  Hiệu của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và vecto đối của \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu là \(\mathop a\limits^ \to   - \mathop b\limits^ \to  \)

Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \) (Quy tắc hiệu)

 b) Tích của một số với một vecto trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) nếu k > 0; ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) nếu k < 0

- Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\)

 c) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) khác \(\mathop 0\limits^ \to  \). Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

 

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) khác \(\mathop 0\limits^ \to  \). Tích vô hướng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức

\(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Bài giải tiếp theo



Từ khóa phổ biến