Lý thuyết Tích của một số với một vecto

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)

+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và

              Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)

              Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)

+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:

 \(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}\)

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

+) Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\)         

+) Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .\)

+) Chú ý:

Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow b \)

CHƯƠNG V. VECTƠ

BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)

+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và

              Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)

              Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)

+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

+) Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\)         

+) Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .\)

+) Chú ý:

Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow b \)

Trắc nghiệm

Câu 1. ID 11898

Câu 2. ID 11897

Câu 3. Cho hình vẽ sau:

a) Vecto nào sau đây bằng \(\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)?

A. \(\overrightarrow {FB} \)

B. \(\overrightarrow {AF} \)

C. \(\overrightarrow {DA} \)

D. \(\overrightarrow {BG} \)

b) Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\overrightarrow {DF}  = 2\overrightarrow {AD} \)

B. \(\overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {LJ} \)

C. \(\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {CI}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

D. \(\overrightarrow {LJ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Phương pháp

a) Vecto \(\overrightarrow a  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  \Rightarrow a = \frac{1}{4}AB\) và hai vecto này cùng hướng.

b) Kiểm tra từng khẳng định

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy \(\overrightarrow {FB} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(FB = \frac{1}{4}AB\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {FB}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)

Chọn A

b)

\(\overrightarrow {DF}  = 2\overrightarrow {AD} \) đúng vì \(\overrightarrow {DF} ,\;\overrightarrow {AD} \) cùng hướng và \(DF = 2AD\) => Loại A

\(\overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {LJ} \) đúng vì \(\overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {LE}  + \overrightarrow {EJ}  = \overrightarrow {LJ} \) => Loại B

\(\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {CI}  =  - \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) sai vì \(\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng, do đó \(\overrightarrow {BG}  \ne  - \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {LJ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) đúng.

Chọn C

Câu 4: Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính \(\overrightarrow {MN} \) theo các vecto cạnh của tứ giác:

A. \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

B. \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

C. \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

D. \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

Phương pháp giải

Tính \(\overrightarrow {MN} \) bằng cách chèn điểm, lưu ý các vecto cùng phương \(\overrightarrow {AM} \& \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CN} \& \overrightarrow {CD.} \)

Lời giải chi tiết

Ta có:

 \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

Chọn C

Câu 5. Cho hình vuông ABCD, tâm O, cạnh 4cm. Điểm E, H lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho:

\(\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CH}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {CD} \). Độ dài vecto \(|\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH} |\) là:

A. 0

B. 1

C. 4

D. \(4\sqrt 2 \)

Phương pháp

Bước 1: Lấy M, N là trung điểm BC, CD. Nhận xét độ dài các đoạn DH, HN và BE, EM.

Bước 2: Tính vecto \(\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {OH} \) dựa vào tính chất trung điểm

Bước 3: Tìm vecto \(\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH} \), từ đó suy ra độ dài của vecto.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Ta có: \(\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {EM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {DH}  = \overrightarrow {HN}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \) E, H là trung điểm của BM và DN

\( \Rightarrow \overrightarrow {OE}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OM} ),\;\;\overrightarrow {OH}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {ON} )\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {ON} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \)

\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH} } \right| = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}.4\sqrt 2  = \sqrt 2 \)

Chọn D.

Câu 6. Chất điểm A chị tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}} \) như hình dưới và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0 \)). biết \(\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn là 50N, độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) là:

A. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25\sqrt 3 N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25N\)

B. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{25}}{{\sqrt 3 }}N\)

C. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25N\)

D. Đáp án khác

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  =  - \;\overrightarrow {{F_3}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| { - \;\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\)

Dựng hình bình hành (hay hình chữ nhật) ABCD, ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 50\)

Lại có: \(\widehat {EAB} = {120^ \circ } \Rightarrow \widehat {CAB} = {60^ \circ }\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50.\cos {60^ \circ } = 25\\BC = AD = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 50.\sin {60^ \circ } = 25\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Chọn A.