Luyện tập 1 trang 106 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác ABCD có AB = BC và CA là tia phân giác của góc BCD. Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường thẳng CD ở E. Gọi M là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.

b) Chứng minh rằng tứ giác ABME là hình thang.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AB = BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại B \( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\)

Mà \(\widehat {BCA} = \widehat {ACD}\) (CA là phân giác của \(\widehat {DCB}\))

Nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\)

Lại có \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {ACD}\) là hai góc so le trong.

Do đó AB // CD

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

b) ∆ABC cân tại B có BM là đường trung tuyến (M là trung điểm của AC)

=> BM cũng là đường cao của ∆ABC \( \Rightarrow BM \bot AC\)

Mà \(AE \bot AC(gt)\) nên BM // AC

Vậy tứ giác ABME là hình thang.