Giải mục 4 trang 84, 85 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Hoạt động 4

Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị (C) và điểm \(P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right).\) Xét điểm \(Q\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên (C) với \(x \ne {x_0}.\)

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc k_PQ của cát tuyến PQ.

b) Khi \(x \to {x_0}\) thì vị trí của điểm \(Q\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k_PQ  có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Phương pháp giải:

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2};{y_2}} \right),\) với \({x_1} \ne {x_2}\) là

\(k = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

Lời giải chi tiết:

a) Hệ số góc của cát tuyến PQ là \({k_{PQ}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

b) Khi \(x \to {x_0}\) thì vị trí của điểm \(Q\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm \(P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) và khi \(x = {x_0}\) hai điểm này sẽ trùng nhau

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k_PQ  có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P.

Luyện tập 3

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{1}{2}.\)

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x\) nên \(y'\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.\frac{1}{2} = 1.\) Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{1}{2}\) là k = 1.

Hoạt động 5

Cho hàm số y = x² có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x₀ = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Phương pháp giải:

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\)

- Phương trình đường thẳng với hệ số góc k có dạng \(y = kx + c\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x\) nên \(y'\left( 1 \right) = 2.1 = 2.\) Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là k = 2.

b) Ta có \({x_0} = 1\) nên \({y_0} = {1^2} = 1.\)

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 nên phương trình tiếp tuyến có dạng \(y = 2x + c\)

\( \Rightarrow 1 = 2.1 + c \Rightarrow c =  - 1\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y = 2x - 1\)

Luyện tập 4

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(\left( P \right):y =  - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - 1\)

Phương pháp giải:

- Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

- Từ ví dụ 2 có \({\left( {c{x^2}} \right)^\prime } = 2cx\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {\left( { - 2{x^2}} \right)^\prime } =  - 4x\) nên \(y'\left( { - 1} \right) =  - 4.\left( { - 1} \right) = 4.\)

Ngoài ra , \(f\left( { - 1} \right) =  - 2\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - \left( { - 2} \right) = 4\left( {x + 1} \right)\) hay \(y = 4x + 2\)

Vận dụng

Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10⁰ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\left( {c{x^2}} \right)^\prime } = 2cx\)

Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm AB, tia Ox trùng với tia OB, tia Oy hướng lên trên.

Khi đó \(A\left( { - 200;0} \right),B\left( {200;0} \right).\) Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h (h > 0), suy ra đỉnh cầu có tọa độ (0; h).

Ta tìm được phương trình parabol của cầu là \(y =  - \frac{h}{{{{200}^2}}}{x^2} + h\)

Ta có \(y' =  - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x.\) Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là

\(k = y' =  - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x, - 200 \le x \le 200.\)

Do đó \(\left| k \right| = \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}\left| x \right| \le \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}.200 = \frac{h}{{100}}\)

Vì độ dốc của mặt cầu không quá 10⁰ nên ta có \(\frac{h}{{100}} \le \tan {10^0} \Leftrightarrow h \le 17,6\)

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6m.