Giải mục 3 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d\).

a) Tính các tổng: \({u_1} + {u_n};{u_2} + {u_{n - 1}};{u_3} + {u_{n - 2}};...;{u_k} + {u_{n - k + 1}}\) theo \({u_1},n\) và \(d\).

b) Chứng tỏ rằng \(2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

b) Cộng vế với vế các kết quả của câu a).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = {u_1} + \left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = \left[ {{u_1} + d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - 1} \right) - 1} \right)d} \right] = {u_1} + d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_3} + {u_{n - 2}} = \left[ {{u_1} + 2d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - 3} \right) - 1} \right)d} \right] = {u_1} + 2d + {u_1} + \left( {n - 3} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ \vdots \\{u_k} + {u_{n - k + 1}} = \left[ {{u_1} + \left( {k - 1} \right)d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - k + 1} \right) - 1} \right)d} \right]\\ &  = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - k} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_3} + {u_{n - 2}} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ \vdots \\{u_n} + {u_1} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\\ \Leftrightarrow 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\end{array}\)

Thực hành 4

a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.

b) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} + {u_{28}} = 100\). Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({S_6} = 18\) và \({S_{10}} = 110\). Tính \({S_{20}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có thể sắp xếp 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên thành cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 2\).

\( \Rightarrow {S_{50}} = \frac{{50\left[ {2.0 + \left( {50 - 1} \right).2} \right]}}{2} = 2450\)

b) Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Ta có: \({u_3} + {u_{28}} = \left( {{u_1} + 2{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 27{\rm{d}}} \right) = 2{u_1} + 29{\rm{d}} \Leftrightarrow 2{u_1} + 29{\rm{d}} = 100\)

\( \Rightarrow {S_{30}} = \frac{{30\left[ {2{u_1} + 29{\rm{d}}} \right]}}{2} = \frac{{30.100}}{2} = 1500\)

c) Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1}\) và công sai \(d\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_6} = 18 \Leftrightarrow \frac{{6\left[ {2{v_1} + 5{\rm{d}}} \right]}}{2} = 18 \Leftrightarrow 2{v_1} + 5{\rm{d}} = 6\left( 1 \right)\\{S_{10}} = 110 \Leftrightarrow \frac{{10\left[ {2{v_1} + 9{\rm{d}}} \right]}}{2} = 110 \Leftrightarrow 2{v_1} + 9{\rm{d}} = 22\left( 1 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2{v_1} + 5{\rm{d}} = 6\\2{v_1} + 9{\rm{d}} = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_1} =  - 7\\{\rm{d}} = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{20}} = \frac{{20\left[ {2{v_1} + 19{\rm{d}}} \right]}}{2} = \frac{{20\left[ {2.\left( { - 7} \right) + 19.4} \right]}}{2} = 620\)

Vận dụng 3

Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế,… cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).

a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.

b) Tính tổng số ghế có trong rạp.

Phương pháp giải:

‒ Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

‒ Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có dãy số chỉ số ghế có ở các hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 17\) và công sai \(d = 3\).

a) Số ghế có ở hàng cuối cùng là: \({u_{20}} = {u_1} + 19{\rm{d}} = 17 + 19.3 = 74\) (ghế).

b) Tổng số ghế có trong rạp là: \({S_{20}} = \frac{{20\left[ {2{u_1} + 19{\rm{d}}} \right]}}{2} = \frac{{20\left[ {2.17 + 19.3} \right]}}{2} = 910\) (ghế).