Giải mục 2 trang 6, 7 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Hoạt động 2

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = - 8.

Phương pháp giải:

Đưa 2 vế về cùng số mũ thì cơ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) \({x^2} = 4 = {2^2} = {\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow x =  \pm 2\)

b) \({x^3} =  - 8 = {\left( { - 2} \right)^3} \Leftrightarrow x =  - 2.\)

Luyện tập 2

Tính:

a) \(\sqrt[3]{{ - 125}}\);                            

b) \(\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}}.\)

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt[3]{{ - 125}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 5} \right)}^3}}} =  - 5.\)

b) \(\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^4}}} = \frac{1}{3}.\)

Hoạt động 3

a) Tính và so sánh: \(\sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}}\) và \(\sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}}.\)

b) Tính và so sánh: \(\frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}}\) và \(\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}.\)

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}.\sqrt[3]{{{3^3}}} =  - 2.3 =  - 6\)

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}} = \sqrt[3]{{ - 216}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 6} \right)}^3}}} =  - 6\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}}\end{array}\)

b) \(\frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{3^3}}}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)}^3}}} = \frac{{ - 2}}{3}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}.\end{array}\)

Luyện tập 3

Tính:

a) \(\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}};\)                          

b) \(\sqrt[5]{{ - 25\sqrt 5 }}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}};{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}} = \sqrt[3]{{\frac{5}{{625}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{125}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3}}} = \frac{1}{3}.\)

b) \(\sqrt[5]{{ - 25\sqrt 5 }} = \sqrt[5]{{{{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^5}}} =  - \sqrt 5 \)

Hoạt động 4

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{1}{n}}}\) sao cho \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a.\)

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{m}{n}}},\) với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\) mà \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a\) nên \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = \sqrt[n]{a} \Rightarrow {a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\)

b) Theo câu a ta có \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\) mà \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}\) nên \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Luyện tập 4

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\,\,\,\left( {x,y > 0} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\)

Lời giải chi tiết:

\(A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}} = xy.\)