Giải mục 2 trang 53, 54 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Cho hình thang cân ABCD, AC // CD và AB < CD (H.3.16).

a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.

b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC

Phương pháp giải:

a) Chứng minh: ∆AHI = ∆IBA (c.g.c).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh: ∆AHD = ∆BIC (góc - góc).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\)(hai góc so le trong).

Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.

Do đó \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong).

Xét ∆AHI và ∆IBA có:

\(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\) (chứng minh trên);

Cạnh AI chung;

 \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong).

Do đó ∆AHI = ∆IBA (c.g.c).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên \(\widehat C = \widehat D\).

Vì ∆AHD và ∆BIC có:

\(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) và \(\widehat C = \widehat D\) nên \(90^o - \widehat C = 90^o - \widehat {BIC} \Leftrightarrow \widehat {DAH} = \widehat {CBI}\) 

Xét ∆AHD và ∆BIC có:

\(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD);

\(AH = BI\) (chứng minh trên

\(\widehat {DAH} = \widehat {CBI}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆AHD = ∆BIC (góc - cạnh - góc).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Luyện tập 2

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. Biết rằng \(\widehat A = \widehat B = \widehat {{D_1}}\). Chứng minh rằng AB = BC.

Phương pháp giải:

Chứng minh ABCD là hình thang có \(\widehat A = \widehat B\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\widehat A = \widehat {{D_1}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.

Mặt khác hình thang ABCD có \(\widehat A = \widehat B\) nên ABCD là hình thang cân.

Do đó AB = BC (đpcm).

HĐ2

Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC. Từ đó suy ra AC = BD

Phương pháp giải:

Chứng minh: ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên AD = BC; \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\)

Xét ∆ACD và ∆BDC có

AD = BC (chứng minh trên);

\(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\) (chứng minh trên);

Cạnh CD chung.

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

Luyện tập 3

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).

a) Tứ giác DECB là hình gì?

b) Chứng minh BE = CD.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC

Suy ra DECB là hình thang.

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\).

Hình thang DECB có \(\widehat B = \widehat C\) nên tứ giác DECB là hình thang cân.

b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.

Do đó BE = CD (đpcm).