Giải mục 2 trang 29, 30, 31 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 9 Cánh diều

Viết hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b.

Phương pháp giải:

Sử dụng dấu " >; <; =" phù hợp để biểu diễn.

Lời giải chi tiết:

Hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b là \(a > b\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 30 SGK Toán 9 Cánh diều

Hãy viết hai bất đẳng thức cùng chiều.

Phương pháp giải:

Hai bất đẳng thức cùng dấu được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Lời giải chi tiết:

\(25 > \sqrt 3 ;\sqrt 7  > \sqrt 2 \)

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho bất đẳng thức \(15 > 14\). Hãy so sánh hiệu \(15 - 14\) và 0.

Phương pháp giải:

Tính hiệu \(15 - 14\) rồi so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(15 - 14 = 1 > 0\).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho \(a \ge 2b\). Chứng minh:

a. \(2a - 1 \ge a + 2b - 1\)

b. \(4b + 4a \le 5a + 2b\)

Phương pháp giải:

Xét hiệu của từng bất đẳng thức rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

Do \(a \ge 2b\) nên \(a - 2b \ge 0\) và \(2b - a \le 0\).

a. Xét hiệu: \(\left( {2a - 1} \right) - \left( {a + 2b - 1} \right) = 2a - 1 - a - 2b + 1 = a - 2b \ge 0\). Vậy \(2a - 1 \ge a + 2b - 1\).

b. Xét hiệu: \(\left( {4b + 4a} \right) - \left( {5a + 2b} \right) = 4b + 4a - 5a - 2b = 2b - a \le 0\). Vậy \(4b + 4a \le 5a + 2b\).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 30 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho bất đẳng thức \(a > b\) và cho số thực c.

a. Xác định dấu của hiệu: \(\left( {a + c} \right) - \left( {b + c} \right)\).

b. Hãy so sánh: \(a + c\) và \(b + c\).

Phương pháp giải:

Thực hiện hiệu rồi so sánh với 0 để xác định dấu của hiệu.

Lời giải chi tiết:

a. Do \(a > b\) nên \(a - b > 0\) và \(b - a < 0\)

Ta có: \(\left( {a + c} \right) - \left( {b + c} \right) = a + c - b - c = a - b > 0\). Vậy \(\left( {a + c} \right) - \left( {b + c} \right) > 0\).

b. Do \(\left( {a + c} \right) - \left( {b + c} \right) > 0\) nên \(a + c > b + c\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 31 SGK Toán 9 Cánh diều

Chứng minh:

a. \(\sqrt {11}  - \sqrt 3  > \sqrt {10}  - \sqrt 3 \);

b. \({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 4 - 2a\) với \({a^2} \ge 3\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất khi cộng cùng một số vàp cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

a. Do \(11 > 10\) nên \(\sqrt {11}  > \sqrt {10} \) suy ra \(\sqrt {11}  - \sqrt 3  > \sqrt {10}  - \sqrt 3 \).

Vậy \(\sqrt {11}  - \sqrt 3  > \sqrt {10}  - \sqrt 3 \)

b. Do \({a^2} \ge 3\) nên \({a^2} - 3 \ge 0\).

Xét hiệu \({\left( {a - 1} \right)^2} - 4 + 2a = {a^2} - 2a + 1 - 4 + 2a = {a^2} - 3 \ge 0\)

Vậy \({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 4 - 2a\).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 31 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho bất đẳng thức \(a > b\) và số thực \(c > 0\).

a. Xác định dấu của hiệu: \(ac - bc\).

b. Hãy so sánh: \(ac\) và \(bc\).

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung của ac với bc rồi xét hiệu

Lời giải chi tiết:

a. Do \(a > b\) nên \(a - b > 0\).

Ta có: \(ac - bc = \left( {a - b} \right)c\)

Do \(a - b > 0,c > 0\) nên \(\left( {a - b} \right)c > 0\)

Vậy \(ac - bc > 0\).

b. Do \(ac - bc > 0\) nên \(ac > bc\).

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 31 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho \(a \ge b\). Chứng minh: \(5b - 2 \le 5a - 2\).

Phương pháp giải:

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Do \(a \ge b\) nên \(5a \ge 5b\). Vậy \(5a - 2 \ge 5b - 2\) hay \(5b - 2 \le 5a - 2\).

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 32 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho bất đẳng thức \(a > b\) và số thực \(c > 0\).

a. Xác định dấu của hiệu: \(ac - bc\).

b. Hãy so sánh: \(ac\) và \(bc\).

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung của ac với bc rồi xét hiệu

Lời giải chi tiết:

a. Do \(a > b\) nên \(a - b > 0\).

Ta có: \(ac - bc = \left( {a - b} \right)c\)

Do \(a - b > 0,c > 0\) nên \(\left( {a - b} \right)c > 0\)

Vậy \(ac - bc > 0\).

b. Do \(ac - bc > 0\) nên \(ac > bc\).

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 32 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho \(a \le 1\). Chứng minh: \({\left( {a - 1} \right)^2} \ge {a^2} - 1\).

Phương pháp giải:

Xét hiệu của phương trình để chứng minh

Lời giải chi tiết:

Do \(a \le 1\) nên \(a - 1 \le 0\) và \(1 - a \ge 0\)

Xét hiệu: \({\left( {a - 1} \right)^2} - {a^2} + 1 = {a^2} - 2a + 1 - {a^2} + 1 =  - 2a + 2 =  - 2\left( {a - 1} \right) \ge 0\)

Vậy \({\left( {a - 1} \right)^2} \ge {a^2} - 1\).

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 32 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho các bất đẳng thức \(a > b\) và \(b > c\).

a. Xác định dấu của hiệu: \(a - b,b - c,a - c\).

b. Hãy so sánh: a và c.

Phương pháp giải:

Xét hiệu \(a - c\) để so sánh a với c.

Lời giải chi tiết:

a. Do \(a > b\) nên \(a - b > 0\)

Do \(b > c\) nên \(b - c > 0\).

Do \(a > b\), \(b > c\) nên \(a > c\) hay \(a - c > 0\).

b. Do \(a - c > 0\) nên \(a > c\).

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 32 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn \(a > b\) và \(c > d\). Chứng minh: \(ac > bd\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất vừa học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Do \(a > b,c > 0\) nên \(ac > bc\)(1)

Do \(c > d,b > 0\) nên \(bc > bd\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(ac > bd\).