Giải mục 1 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Vận dụng 1

Năm 2020, dân số thế giới khoảng 7 795 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,05% mỗi năm (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số thế giới vào năm 2050 (làm tròn kết quả đến hàng triệu).

Phương pháp giải:

Người ta thấy rằng hiện tượng tự nhiên tuân theo quy luật một đại lượng A biến thiên theo thời gian t theo hàm số mũ sau:

\(A\left( t \right) = {A_0}{e^{kt}}\)

Ở đây \({A_0}\) là đại lượng ban đầu (ứng với t = 0) và \(k \ne 0\) là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, dân số thế giới vào năm 2050 là

\(A\left( {30} \right) = 7795.{e^{30.1,05\% }} = 10681,17133\) (triệu người)

Vậy ước tính dân số thế giới vào năm 2050 là khoảng 10681 triệu người.

Vận dụng 2

Dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu. Biết chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm (theo britannica.com), hãy ước tính khoảng thời gian cây bị chặt và đốt.

Phương pháp giải:

Người ta thấy rằng hiện tượng tự nhiên tuân theo quy luật một đại lượng A biến thiên theo thời gian t theo hàm số mũ sau:

\(A\left( t \right) = {A_0}{e^{kt}}\)

Ở đây \({A_0}\) là đại lượng ban đầu (ứng với t = 0) và \(k \ne 0\) là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

Chu kì bán ra là thời gian cần thiết để một nửa số chất phóng xạ bị phân rã và chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm nên ta có

\(50\%  = {e^{k.5730}} \Leftrightarrow k =  - \frac{1}{{5730}}.\ln 2\)

Do dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu do đó khoảng thời gian cây bị chặt và đốt là

\(1,67\%  = {e^{k.t}} \Leftrightarrow t \approx 33829,97\)

Vậy khoảng thời gian cây bị chặt và đốt là khoảng 33830 năm.