Giải mục 1 trang 95 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Hoạt động 1

a) Gọi \(g\left( x \right)\) có đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right).\) Tìm \(g\left( x \right)\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u;\left( {\cos u} \right)' =  - u'.\sin u\)

Lời giải chi tiết:

a) \(g'\left( x \right) = y' = {\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

b) \(g'\left( x \right) =  - 2{\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Luyện tập 1

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y = x{e^{2x}};\)                                  

b) \(y = \ln \left( {2x + 3} \right).\)

Phương pháp giải:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right).\) Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

a) \(y' = {e^{2x}} + 2x{e^{2x}} \Rightarrow y'' = 2{e^{2x}} + 2\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right) = 4{e^{2x}} + 4x{e^{2x}}\)         

b) \(y' = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^,}}}{{2x + 3}} = \frac{2}{{2x + 3}} \Rightarrow y'' = \frac{{ - 2.{{\left( {2x + 3} \right)}^,}}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)