Giải mục 1 trang 31, 32, 33 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Hoạt động 1

Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Phương pháp giải:

Quan sát thực tế

Lời giải chi tiết:

a) Vì mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà nên khi cánh cửa đóng, điểm A trên cánh cửa sẽ nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường sát sàn nhà. Khi mở cánh cửa, điểm A sẽ di chuyển theo đường thẳng song song với đường sát sàn nhà và vẫn giữ nguyên góc vuông với các đường thẳng đi qua B trên sàn nhà. Do đó, đường thẳng AB luôn vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Theo tính chất của góc phẳng, khi hai đường thẳng AB và BC vuông góc với một đường thẳng CD chung, thì AB cũng vuông góc với BC. Vì vậy, khi đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng đi qua điểm B trên sàn nhà, thì đường thẳng AB cũng vuông góc với mọi đường thẳng khác trên sàn nhà.

Hỏi chấm 1

Nếu đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

Phương pháp giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Nếu đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau.

Hoạt động 2

Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bia thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.

a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?

b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Phương pháp giải:

Thực hành thực tế theo yêu cầu đề bài.

Lời giải chi tiết:

a) Sau khi gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật, ta sẽ có hai hình chữ nhật MNAB; ABCD. Do đó, đường thẳng AB sẽ vuông góc với cạnh AN, AD của hai hình chữ nhật đó.

b) Để kiểm tra xem đường thẳng AB có vuông góc với đường thẳng a hay không, ta có thể sử dụng một ê-ke. Đặt một đầu ê-ke lên điểm A và đưa đầu kia đi dọc theo đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke không thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là hai đường không vuông góc nhau.

Hỏi chấm 2

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào hoạt động 2 trang 32

Lời giải chi tiết:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại.

Luyện tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO \( \bot \) (ABCD).

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

+) Xét tam giác SAC có SA = SC \( \Rightarrow \) SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến

\( \Rightarrow \) SO \( \bot \) AC.

Xét tam giác SBD có SB = SD \( \Rightarrow \) SBD là tam giác cân mà SO là trung tuyến

\( \Rightarrow \) SO \( \bot \) BD.

+) Ta có SO \( \bot \) AC; SO \( \bot \) BD; AC \( \cap \) BD tại O \( \Rightarrow \) SO \( \bot \) (ABCD).

Vận dụng

Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta coi hai thanh đế thẳng đặt dưới dàn nhà là 2 đường thẳng cắt nhau và sàn nhà là 1 mặt phẳng.

Vì hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó, hai thanh đế đó cắt nhau và nằm trên mặt phẳng là sàn nhà nên cột treo vuông góc với sàn nhà.