Giải bài tập 8 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng tại thời điểm t cho bởi hàm số \(m(t) = 500 + 50\sqrt t  - 10t\), trong đó t tính theo ngày , m(t) tính theo người

a) Khi nào có 360 công nhân được sử dụng?

b) Khi nào số công nhân được sử dụng lớn nhất?

c) Gọi M(t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công công trình). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M’(t) = m(t). Tổng cộng cần bao nhiêu ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó?

Lời giải chi tiết

a) \(m(t) = 500 + 50\sqrt t  - 10t = 360 \Leftrightarrow t = 49\)

Vậy ngày 49 có 360 công nhân được sử dụng

b) Xét \(m(t) = 500 + 50\sqrt t  - 10t\)

\(m'(t) = \frac{{25}}{{\sqrt t }} - 10 = 0 \Leftrightarrow t = 6,25\)

Vậy ngày thứ 6 thì số công nhân được sử dụng lớn nhất

c) Số ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó là:

\(M = \int\limits_0^{100} {m(t)dt = } \int\limits_0^{100} {\left( {500 + 50\sqrt t  - 10t} \right)dt}  = \left. {\left( {500t + \frac{{100\sqrt {{t^3}} }}{3} - 5{t^2}} \right)} \right|_0^{100} = 33333,33\)(ngày công)