Giải bài tập 7 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250km so với bề mặt của Mặt Trăng.

Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm độ cao hát của con tàu so với bề mặt của mặt trăng được tính gần đúng bởi hàm.

 \(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250\)

Trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = h\left( t \right)\) với \(0{\rm{ }} \le t \le {\rm{ }}50\) (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 10 km).

b) Gọi v(t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với \(0{\rm{ }} \le t \le {\rm{ }}50\). Xác định hàm số v(t).

c) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm t = 25 (giây) là bao nhiêu?

d)  Tại thời điểm t = 25 (giây), vận tốc của con tàu vẫn giảm hay tăng trở lại?

e) Tìm thời điểm t (\(0{\rm{ }} \le t \le {\rm{ }}50\)) Sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a,

b) Vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t, v(t), là đạo hàm của hàm số h(t) theo thời gian t. Hàm số h(t) đã cho là:

\(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250\)

Để tìm v(t), ta lấy đạo hàm của h(t):

\(v\left( t \right) = h'\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)

Vậy hàm số v(t) biểu diễn vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t là:

\(v\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)

c) Vận tốc tức thời của con tàu được xác định bởi hàm \(v\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)

Tại thời điểm bắt đầu hãm phanh (t = 0), vận tốc của con tàu là:

\(v\left( 0 \right) =  - 0,{030^2} + 2,20 - 30 =  - 30{\rm{\;}}km/s\)

Tại thời điểm t = 25 giây, vận tốc của con tàu là:

\(v\left( {25} \right) =  - 0,{0325^2} + 2,225 - 30 =  - 18,75\;km/s\)

Vậy, vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là -30 km/s và tại thời điểm t = 25 giây là -18,75 km/s. Lưu ý rằng vận tốc âm ở đây chỉ ra rằng con tàu đang di chuyển về phía Mặt Trăng.

d) Để xác định liệu vận tốc của con tàu tại thời điểm t = 25 giây có đang tăng hay giảm, chúng ta cần xem xét đạo hàm bậc hai của hàm số h(t), tức là gia tốc của con tàu.

Gia tốc a(t) là đạo hàm của vận tốc v(t), tức là đạo hàm bậc hai của h(t):

\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 0,06t + 2,2\)

Tại thời điểm t = 25 giây, gia tốc của con tàu là: \(a\left( {25} \right) =  - 0,06.25 + 2,2 =  - 1,3\;km/{s^2}\)

Vì gia tốc a(25) < 0, nên vận tốc của con tàu tại thời điểm t = 25 giây đang giảm.

e)