Giải bài tập 5 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\) và các đường thẳng \(m,n,p\) lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại \(A,B,C\) (Hình 43).

Chứng minh:

a) \(AD + BE = DE\);

b) \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\) và \(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\);

c) Tam giác \(ODE\) vuông;

d) \(\frac{{OD.OE}}{{DE}} = R\).

Lời giải chi tiết

a) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(DA = DC\).

Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(CE = BE\).

Lại có: \(DC + CE = DE\) suy ra \(DA + EB = DE\).

b) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OD\) là tia phân giác của góc \(COA\).

Suy ra \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\).

Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OE\) là tia phân giác của góc \(COB\).

Suy ra \(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\).

c) Ta có: \(\widehat {COA} + \widehat {COB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {COA} + \widehat {COB}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ  = 90^\circ  \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {COA} + \frac{1}{2}\widehat {COB} = 90^\circ .\)

Mà \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\),\(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\) nên \(\widehat {COD} + \widehat {COE} = 90^\circ \)  hay \(\widehat {DOE} = 90^\circ \).

Vậy tam giác \(ODE\) vuông tại \(O\).

d) Xét tam giác \(ODE\) vuông tại \(O\), đường cao \(OC\) có:

\(DO.OE = CO.DE\) (hệ thức lượng)

\( \Rightarrow \frac{{OD.OE}}{{DE}} = OC\).

Mà \(OC = R\) nên \(\frac{{OD.OE}}{{DE}} = R\).