Giải bài tập 4 trang 27 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = \frac{x}{{2 - x}}\) b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\) c) \(y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}\)


Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{x}{{2 - x}}\)                 

b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\)             

c) \(y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng \(y = {y_o}\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_o}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_o}\).

Đường thẳng \(x = {x_o}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  + \infty \) ,\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  - \infty \),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  + \infty \),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  - \infty \).

Đưởng thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \frac{x}{{2 - x}} =  - 1\)

Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} =  - \infty \end{array} \right.\)

Vậy đường thẳng \(y =  - 1\) và \(x = 2\) lần lượt là đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \(y = \frac{x}{{2 - x}}\).

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty \end{array} \right.\)

Mặt khác, \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x - 1}}\)

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\)

Vậy đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(y = 2x - 1\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\)

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \end{array} \right.\).

Xét \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0\]

Vậy đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(y = x - 3\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}\)



Từ khóa phổ biến