Bài 95 trang 21 SBT toán 9 tập 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh: 

LG câu a

Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng đẳng thức Cô - si với ba số không âm \(a, b, c\).

\(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = c\) 

Lời giải chi tiết:

Gọi \(a, b, c\) lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Ta có: \(a > 0,b > 0,c > 0\) suy ra: \(\sqrt a  > 0,\sqrt b  > 0,\sqrt c  > 0\)

Tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật: 

\(P = a + b + c\)

Thể tích của hình hộp chữ nhật: 

\(V = a.b.c\)

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\\
\Leftrightarrow \sqrt[3]{V} \le \dfrac{p}{3} \Leftrightarrow V \le \dfrac{{{p^3}}}{{27}}
\end{array}\) 

Suy ra \({V_{\max }} = \dfrac{{{P^3}}}{{27}}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

LG câu b

Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.   

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng đẳng thức Cô - si với ba số không âm \(a, b, c\).

\(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = c\) 

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:

\(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{p}{3} \ge \sqrt[3]{V} \Leftrightarrow p \ge 3\sqrt[3]{V}\\
\end{array}\)

 Suy ra \({P_{\min }} = 3\sqrt[3]{V}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.