Bài 9 trang 153 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Cho biểu thức: 

\(A = \left( {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{2}{{2 - x}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right):\)\(\,\left( {\left( {x - 2} \right) + \dfrac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tính giá trị của \(A\) tại \(x\), biết \(\left| x \right| = \dfrac{1}{2}\) .

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(A < 0\). 

Lời giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 2\)

a) \(A = \left( {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{2}{{2 - x}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right):\)\(\,\left( {\left( {x - 2} \right) + \dfrac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
= \left[ {\dfrac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right]:\left[ {\left( {x - 2} \right) + \dfrac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right]\\
= \dfrac{{x - 2\left( {x + 2} \right) + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}:\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 10 - {x^2}}}{{x + 2}}\\
= \dfrac{{x - 2x - 4 + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}:\dfrac{{{x^2} - 4 + 10 - {x^2}}}{{x + 2}}\\
= \dfrac{{ - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{x + 2}}{6}\\
= \dfrac{{ - 6.\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).6}}\\
= \dfrac{1}{{2 - x}}
\end{array}\)  

b) 

\(|x| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \dfrac{1}{2} \hfill \\
x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

+) Tại \(x = \dfrac{1}{2}\) (tmđk) thì \( A = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{3}\)

+) Tại \(x = { - \dfrac{1}{2}}\) (tmđk) thì \( A = \dfrac{1}{{2 - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}} = \dfrac{1}{{2 + \dfrac{1}{2}}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2}}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{2}{5}\)

c) \(A=\dfrac{1}{{2 - x}} < 0\) \( \Leftrightarrow 2 - x < 0\) \(\Leftrightarrow  x > 2\) (tmđk)

Vậy \(x>2\) thì \(A<0\)