Bài 1 trang 148 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại \(x =  - \dfrac{1}{3}\):

\(\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \dfrac{6}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]\)\(\,.\left[ {1:\left( {\dfrac{{24{x^2}}}{{{x^4} - 81}} - \dfrac{{12}}{{{x^2} + 9}}} \right)} \right]\) 

Lời giải chi tiết

Biểu thức đã cho có dạng \(M=A.B\)

Ta có:  

\(\begin{array}{l}
A = \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \dfrac{6}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^3} - 6\left( {{x^2} - 9} \right) - {{\left( {x - 3} \right)}^3}}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 - 6{x^2} + 54 - {x^3} + 9{x^2} - 27x + 27}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{24{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
B = 1:\left( {\dfrac{{24{x^2}}}{{{x^4} - 81}} - \dfrac{{12}}{{{x^2} + 9}}} \right) \\= 1:\dfrac{{24{x^2} - 12\left( {{x^2} - 9} \right)}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}\\
= 1:\dfrac{{24{x^2} - 12{x^2} + 108}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}\\
= 1:\dfrac{{12{x^2} + 108}}{{\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}}\\
= 1:\dfrac{{12\left( {{x^2} + 9} \right)}}{{\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}}\\
= \dfrac{{{x^2} - 9}}{{12}}
\end{array}\)

Vậy \(M = A.B = \dfrac{{24{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}.\dfrac{{{x^2} - 9}}{{12}}\)

\( = \dfrac{{24{x^2}\left( {{x^2} - 9} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}.12}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 9}}\)

Tại \(x =  - \dfrac{1}{3}\) thì:

\(M=\dfrac{{2{{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^2}}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^2} - 9}} = \dfrac{{2.\dfrac{1}{9}}}{{\dfrac{1}{9} - 9}} = \dfrac{{\dfrac{2}{9}}}{{ - \dfrac{{80}}{9}}} \)\(\,=  - \dfrac{2}{{80}}=- \dfrac{1}{{40}}\)