Giải bài 7.7 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) đến mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:

a)\(BC \bot \left( {OAH} \right)\);

b) \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\);

c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\), suy ra. \(OA \bot BC\)

Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên\(OH \bot BC\),suy ra\(BC \bot \left( {OAH} \right)\).

b) Vì \(BC \bot \left( {OAH} \right)\) nên \(BC \bot AH\).

Tương tự, \(CA \bot BH\), do đó \(H\) là trực tâm của tam giác\(ABC\).

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\),

Ta có: \(OK \bot BC\) và \(OA \bot OK\) nên \(OK\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) và  là đường cao của tam giác vuông \(OAK\).

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(OBC\) và\(OAK\), ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}\) và \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Từ đó suy ra: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).