Giải bài 7.30 trang 38 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = a\sqrt 2 ,AA' = a\sqrt 3 \). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\).

b) Giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(CD'\).

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\). Khi đó \(AH \bot \left( {BB'D'D} \right)\), suy ra

\(d\left( {A,\left( {BB'D'D} \right)} \right) = AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

b) Ta có: \(CD'//\left( {A'BD} \right)\) nên\(d\left( {CD',BD} \right) = d\left( {CD',\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {A'BD} \right)} \right){\rm{.\;}}\)

Vì \(AC\) cắt \(BD\) tại trung điểm của \(AC\) nên \(d\left( {C,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\).

Kẻ \(AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\).

Khi đó \(AK \bot \left( {A'BD} \right)\), suy ra \(d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AK = \frac{{AH \cdot AA'}}{{A'H}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\). Vậy \(d\left( {CD',BD} \right) = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).