Giải bài 7.23 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {A',BD,C'} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có: \(AO \bot BD,A'O \bot BD\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AO,A'O\) mà \(\left( {AO,A'O} \right) = \widehat {AOA'}\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {AOA'}\).

Ta có: \(OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},OA' = \sqrt {O{A^2} + A{A^{{\rm{'}}2}}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Suy ra \({\rm{cos}}\widehat {AOA'} = \frac{{AO}}{{A'O}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

b) Vì \(A'O \bot BD,CO' \bot BD\) nên góc nhị diện \(\left[ {A',BD} \right.\),\(\left. {C'} \right]\) bằng \(\widehat {{A^{\rm{'}}}OC'}\).

Ta có \(OA' = OC' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2},A'C' = a\sqrt 2 \) nên \({\rm{cos}}\widehat {A'OC'} = \frac{{O{A^{{\rm{'}}2}} + O{C^2} - A'{C^2}}}{{2 \cdot OA' \cdot OC'}} = \frac{2}{9}\).