Bài 56* trang 15 SBT toán 6 tập 2

Đề bài

Cho hai phân số \(\displaystyle{{ - 3} \over 8}\) và \(\displaystyle{{ - 2} \over 5}\). Chỉ cần so sánh hai tích \((-3).5\) và \(8.(-2)\), ta cũng có thể kết luận được rằng \(\displaystyle{{ - 3} \over 8} > {{ - 2} \over 5}\). Em có thể giải thích được không? Hãy phát biểu và chứng minh cho trường hợp tổng quát khi so sánh hai phân số \(\displaystyle{a \over b}\) và \(\displaystyle{c \over d}\) \((a, b, c, d ∈ Z, b>0, d>0).\)

Lời giải chi tiết

Ta có : \(\displaystyle{{ - 3} \over 8} = {{( - 3).5} \over {8.5}};{{ - 2} \over 5} = {{( - 2).8} \over {5.8}}\)

Mà : \((-3).5 > (-2).8\)

Vậy \(\displaystyle{{ - 3} \over 8} > {{ - 2} \over 5}.\)

Với hai phân số \(\displaystyle{a \over b}\) và \(\displaystyle{c \over d}\) \((a, b, c, d ∈ Z, b>0, d>0),\) \(\displaystyle{a \over b} > {c \over d}\) thì \(ad > bc\) và ngược lại.

Chứng minh:

Ta có: \(\displaystyle{a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\)

Vì \(\displaystyle{a \over b} > {c \over d}\) nên \(\displaystyle{{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} > {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\). Theo quy tắc so sánh hai phân số ta có: \(ad > bc.\)

Ngược lại: \(\displaystyle{a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\)

Ta có \(ad  > bc.\) Theo quy tắc so sánh hai phân số suy ra: \(\displaystyle{{a{{d}}} \over {b{{d}}}} > {{bc} \over {b{{d}}}}\). Suy ra \(\displaystyle{a \over b} > {c \over d}.\)