Bài 5.5, 5.6, 5.7 phần bài tập bổ sung trang 16, 17 SBT toán 7 tập 1

Bài 5.5

Tính:

\(M = {2^{2010}} - ({2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0})\) 

Phương pháp giải:

\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\)   (\( x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N\))

Quy ước:

\(\eqalign{
& {a^o} = 1\,\,\left( {a \in {\mathbb N^*}} \right) \cr 
& {x^o} = 1\,\,\left( {x \in\mathbb Q,\,\,x \ne 0} \right) \cr} \)

Tính chất phân phối: \(ab+ac=a(b+c)\). 

Giải chi tiết:

Đặt \(A = {2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0}\) 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
2A = 2.\left( {{2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0}} \right)\\
2A = {2^{2010}} + {2^{2009}} + ... + {2^2} + {2^1}\\
2A = {2^{2010}} - {2^0} + \left( {{2^{2009}} + ... + {2^2} + {2^1} + {2^0}} \right)\\
2A = {2^{2010}} - 1 + A\\
\Rightarrow 2A - A = {2^{2010}} - 1\\
\Rightarrow A = {2^{2010}} - 1
\end{array}\)

Do đó \(M = {2^{2010}} - A = {2^{2010}} - ({2^{2010}} - 1) \)\(\,= {2^{2010}} - {2^{2010}} + 1 = 1\).

Bài 5.6

So sánh \({3^{4000}}\) và \({9^{2000}}\) bằng hai cách. 

Phương pháp giải:

\({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\) (\( x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N\)) 

Giải chi tiết:

Cách 1:

\({9^{2000}} = {({3^2})^{2000}} = {3^{4000}}\) 

Vậy \({9^{2000}} = {3^{4000}}\). 

Cách 2:

\({3^{4000}} = {({3^4})^{1000}} = {81^{1000}}\)              (1)

\({9^{2000}} = {({9^2})^{1000}} = {81^{1000}}\)              (2)

Từ (1) và (2) suy ra \({9^{2000}} = {3^{4000}}\).

Bài 5.7

So sánh \({2^{332}}\) và \({3^{223}}\). 

Phương pháp giải:

+) \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\) (\( x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N\))

+) \(m > n \Rightarrow {a^m} > {a^n}\,\left( {a > 1;\,m,n \in N} \right)\)

+) \(a < b \Rightarrow {a^m} < {b^m}\,\left( {a,b > 0;m \in {N^*}} \right)\)

+) \(\left. \begin{array}{l}
a > b\\
b > c
\end{array} \right\} \Rightarrow a > c\)

Giải chi tiết:

Ta có

\({3^{223}} > {\rm{ }}{3^{222}} = {({3^2})^{111}} = {9^{111}}\)          (1)

\({2^{332}} < {2^{333}} = {({2^3})^{111}} = {8^{111}}\)          (2)

Mà \(8<9\) nên \({8^{111}}< {9^{111}}\)                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({2^{332}} < {\rm{ }}{8^{111}} < {9^{111}} < {3^{223}}\).

Vậy \({2^{332}}<{3^{223}}.\)