Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) với ba đường cao \(AA’,\, BB’,\ CC’.\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác đó.
Chứng minh rằng: \(\eqalign{{HA'} \over {AA'}} + \eqalign{{HB'} \over {BB'}} +\eqalign {{HC'} \over {CC'}} = 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: \(S=\dfrac{1}{2}ah\)
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{ & {S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}} \cr & \Rightarrow {{{S_{HBC}}} \over {{S_{ABC}}}} + {{{S_{HABC}}} \over {{S_{ABC}}}} + {{{S_{HAB}}} \over {{S_{ABC}}}} = 1 \cr} \)
\(\Rightarrow\eqalign{{HA'.BC} \over {AA'.BC}} +\eqalign {{HB'.AC} \over {BB'.AC}} \) \(+ \eqalign{{HC'.AB} \over {CC'.AB}} = 1\)
\( \Rightarrow \eqalign{{HA'} \over {AA'}} + \eqalign{{HB'} \over {BB'}} +\eqalign{{HC'} \over {CC'}} = 1\)