Bài 48 trang 143 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\), \(K\) là trung điểm của \(AB, E\) là trung điểm của \(AC.\) Trên tia đối của tia \(KC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(KM = KC.\) Trên tia đối của tia \(EB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(EN = EB.\) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm của \(MN.\)

Lời giải chi tiết

Xét \(∆AKM\) và \(∆BKC\), có:

\(AK = BK\) (gt)

\(\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\) (đối đỉnh)

\(KM = KC\) (gt)

\( \Rightarrow  ∆AKM  =  ∆ BKC\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  AM = BC\) (hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BCK}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AMK} \) và \( \widehat {BCK}\) ở vị trí so le trong nên \( AM // BC \).

Xét \(∆AEN\) và \(∆ CEB\), ta có:

\(AE = CE\) (gt)

\(\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\) (đối đỉnh)

\(EN = EB\) (gt)

\(\Rightarrow ∆AEN = ∆ CEB\) (c.g.c)

\(\Rightarrow AN = BC\)  (hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {E{\rm{A}}N} \) và \( \widehat {ECB}\) ở vị trí so le trong nên \( AN // BC \).

Ta có: \(AM //BC\) và \(AN // BC\) nên theo tiên đề ơclit hai đường thẳng \(AM\) và \(AN\) trùng nhau hay \(M, A, N\) thẳng hàng                    (1)

Mặt khác \(AM = AN\) (vì cùng bằng \(BC\))            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(A\) là trung điểm của \(MN.\)