Bài 47 trang 143 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 2\widehat C\). Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D\). Trên tia đối của tia \(BD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = AC.\) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(K\) sao cho \(CK = AB.\) Chứng minh rằng \(AE = AK\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\displaystyle \widehat B = 2\widehat {{C_1}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat B\)

Mặt khác: \(\displaystyle \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}={1 \over 2}\widehat B\) (vì \(BD\) là tia phân giác góc \(B\))

\( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\)                               (1)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)                   (2)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)                   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{B_3}}\)

Xét \(∆ABE\) và \(∆ KCA\), ta có: 

\(AB  =  KC\) (gt)

\(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên)

\(BE = CA\) (gt)

\( \Rightarrow  ∆ABE = ∆ KCA\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  AE = AK\) (hai cạnh tương ứng).