Bài 47 trang 175 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Với nửa hình cầu bán kính \(r\) và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng \(h\).

a) Khi \(r = 12\; (cm)\) và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị \(h\; (cm)\) làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là bao nhiêu?

b) Khi \(h = 12\, (cm)\) và tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ thì \(r (cm)\) bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Thể tích nửa hình cầu bán kính \(12 cm\) là:

\(\displaystyle V = {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {.12^3} = 1152\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Bán kính đáy hình trụ là: \(\displaystyle R= h\)

Thể tích hình trụ là: \(V = \pi {R^2}.h\)\(\displaystyle = \pi .h^2.h = \pi .{h^3} \)

Theo đề bài ta có:

\(\displaystyle V= \pi .{h^3} = 1152\pi \)

\( \Rightarrow {h^3} = 1152 \)

\(\Rightarrow  \displaystyle h = \root 3 \of {1152} \approx 10,5\,\left( {cm} \right) \).

b) Khi \(h = 12\, (cm)\) thì bán kính đáy hình trụ là \(R=12\,(cm)\).

Diện tích xung quanh hình trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi R.h = 2\pi .12.12 = 288\pi \) \(\left( {c{m^2}} \right).\)

Diện tích một mặt đáy của hình trụ là:

\({S _đ} = \pi {R^2} = \pi {.12^2} = 144\pi \,\left( {c{m^2}} \right).\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + 2{S_đ} \)\(\,= 288\pi  + 2.144\pi  = 576\pi \,\left( {c{m^2}} \right).\)

Diện tích nửa mặt cầu là: \({S_c} = \dfrac{1}{2}.4\pi {r^2} = 2\pi {r^2}\,\left( {c{m^2}} \right).\)

Diện tích hình tròn đáy của nửa mặt cầu là: \(S = \pi {r^2}\,\left( {c{m^2}} \right).\)

Tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ nên ta có:

\(\begin{array}{l}
{S_c} + S = 3{S_{TP}}\\
\Rightarrow 2\pi {r^2} + \pi {r^2} = 3.576\pi \\
\Rightarrow 3\pi {r^2} = 1728\pi \\
\Rightarrow {r^2} = 576\\
\Rightarrow r = \sqrt {576} = 24 \,\left( {cm} \right).
\end{array}\)