Bài 47 trang 119 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\), bán kính \(OM\). Vẽ đường tròn tâm \(O’\), đường kính \(OM\). Một bán kính \(OA\) của đường tròn \((O)\) cắt đường tròn \((O’)\) tại \(B\). Chứng minh cung \(MA\) và cung \(MB\) có độ dài bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(\widehat {MOA} = n^\circ \).

Ta có  \(\widehat {MO'B}\) =sđ\(\overparen{MB}\) và \(\widehat {MOB} = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{MB}\)  (1)  (vì  góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung \(MB\))

Mà \(\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = \) sđ\(\overparen{AM}\)     (2)

Từ (1) và (2) ta có : sđ\(\overparen{MB}\) = 2 . sđ \(\overparen{AM}\)\( = 2n^\circ .\)

Theo công thức tính độ dài cung ta có  \({l_{MA}} = \dfrac{{\pi .OM.n}}{{180}}\)  và \({l_{MB}} = \dfrac{{\pi .O'M.2n}}{{180}}= \dfrac{{\pi .2O'M.n}}{{180}}\)

Theo giả thiết \(OM = 2O'M.\) Vậy các  cung \(MA\) và \(MB\) có độ dài bằng nhau.